Para entendermos esse resultado, primeiro consideremos o seguinte lema: ˆ. d 3 r f z =

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1 Eletromagnetismo I Aula 2 Eercícios: faça os problemas numerados de 15 a 26 do Capítulo 1 do livro-teto. O Teorema da Divergência de Gauss: d 3 r F ( ) da n F. Para entendermos esse resultado, primeiro consideremos o seguinte lema: d 3 r f z ( ) da n z f. Para uma região compacta ( e convea ( do espaço,, seja ( ) sua superfície (fronteira). Nesse caso, escolhendo adequadamente os eios, y e z, a superfície, que é fechada, pode ser descrita por duas funções de e y: z 1 (, y) e z 2 (, y), com z 1 z 2 para todo (, y) R y, onde R y é o domínio comum de z 1 e z 2. endo assim, d 3 r f z R y d dy z2 (,y) z 1 (,y) dz f (, y, z) z R y d dy [f (, y, z 2 (, y)) f (, y, z 1 (, y))]. 1

2 Agora consideremos um elemento de superfície de. uponhamos que esse elemento seja um paralelogramo. ejam u e v vetores paralelos, respectivamente, a dois lados adjacentes do elemento de superfície em consideração, tais que u v u v n, onde n é a normal eterna de, calculada em um ponto do elemento infinitesimal considerado. Portanto, em coordenadas cartesianas, podemos escrever: u d + ẑu z, v ŷdy + ẑv z, onde agora supomos, sem perda de generalidade, que estamos considerando elementos de retangulares e com projeções dos lados adjacentes, sobre o plano y, ao longo de e y, respectivamente. Logo, ẑ (u v) ẑ [(d + ẑu z ) (ŷdy + ẑv z )] d dy. Como o elemento de área, da, é u v, segue que da n z ẑ ( u v n) ẑ (u v) ± d dy, onde o sinal positivo ocorre sobre a parte de representada por z 2 e o sinal negativo ocorre sobre a parte de representada por z 1. Assim, da n z f d dy f (, y, z 2 (, y)) ( ) R y 2

3 R y d dy f (, y, z 1 (, y)), mostrando o lema acima, onde, sobre R y, d dy > 0. É agora óbvio que, para funções F, F y e F z quaisquer, para compacta e convea, temos as equações: d 3 r F d 3 r F y d 3 r F z z ( ) ( ) ( ) da n F, da n y F y, da n z F z, que, somadas membro a membro, resultam no teorema da divergência acima para o caso particular em que é convea e compacta. Resta agora provar que esse teorema vale para regiões não conveas e não compactas. Ora, se tivermos uma região não convea, basta fazermos uma partição dessa região em pequenos elementos conveos e tomar o limite: d 3 r F lim d 3 r i F i1 i lim da i n i F. i1 i ( i ) Em cada pequeno elemento, a normal eterna, n i, é oposta à normal eterna do elemento adjacente, cancelando todos os fluos internos, sobrando somente a integral sobre a fronteira de toda a região não convea, demonstrando o teorema. Caso a região seja não compacta, as somas valem trivialmente em ambos os membros. Assim, o teorema da divergência fica demonstrado para qualquer região do espaço. O Teorema de tokes: F dr ( F) n da. Aqui vamos começar considerando uma região plana,, contida no plano y, compacta e convea. e escolhermos o sistema de coordenadas adequadamente, podemos descrever a curva C (), fronteira de, por duas funções de : y 1 () y 2 (), com [ min, ma ], ou duas funções de y: 1 (y) 2 (y), com y [, y ma ]. 3

4 O elemento de caminho, dr, no plano y, é dado por: Assim, temos: F dr dr d + ŷdy. F [d + ŷdy] F d + F y dy. Escolhendo a normal de como o versor ẑ, calculamos as integrais: ma ma F d F (, y 1 (), 0) d F (, y 2 (), 0) d, min min yma yma F y dy F y ( 2 (y), y, 0) dy F y ( 1 (y), y, 0) d. Agora, calculamos o segundo membro do teorema de tokes acima: [ Fy ( F) n da da F ] d dy F y d dy F yma 2 (y) dy d F y (, y, 0) ma min yma d 1 (y) y2 () y 1 () dy F (, y, 0) F y ( 2 (y), y, 0) dy 4 yma F y ( 1 (y), y, 0) d

5 ma F (, y 2 (), 0) d + min F y dy + F d F dr. ma min F (, y 1 (), 0) d Isso demonstra o teorema nesse caso simples. No entanto, se a região plana,, não for convea, mas ainda for compacta, basta notarmos que pode ser feita uma partição de com elementos de área conveos e aplicarmos o teorema acima a cada elemento: ( F) n da lim ( F) n i da i i1 i lim F dr i. i1 C i ( i ) Como os elementos de caminho, dr i, de um elemento de área anula o elemento de caminho, no mesmo ponto, do elemento de área adjacente, então o resultado da soma do segundo membro resulta na integral sobre a fronteira de toda a região. Isso demonstra o teorema para o caso de uma região plana compacta qualquer. e a região não for compacta, cada sub-região componente da região total é disjunta das demais, resultando que o teorema vale para cada uma dessas sub-regiões. Podemos, então, somar as equações membro a membro e obter o resultado de tokes para qualquer região plana. Na próima aula estudaremos o caso de uma superfície não plana. 5